sábado, 22 de marzo de 2014

Un reloj matemático

Os presentamos este original reloj matemático.

El regalo perfecto para vuestros alumnos, profesora o profesor de matemáticas o amigos frikis.

Cada hora está definida por alguna expresión matemática. A continuación os explicamos como se obtiene cada hora:

1:

Ésta es la identidad fundamental de la trigonometría. El coseno al cuadrado más el seno al cuadrado es igual a 1 para todo ángulo α, es decir:

2:

El siguiente sumatorio es una serie convergente. Veamos cómo son los primeros elementos (son los recíprocos de 2n):

Y vemos como la serie converge a 2.

3:

El e2πi representa en coordenadas polares el punto de la circunferencia unitaria, con centro en el origen de coordenadas, situado en el mismo punto donde estaría el 3 en un reloj analógico. Es decir:

4:

En este caso, se hace referencia al código binario 0100. Este número se traduce a decimal dando el número 4:
 

5:

La letra φ es el famoso número áureo. Éste número es aproximadamente 1,618, ya que:
Sustituyendo obtenemos que:

6:

2-1 módulo 11 es el inverso de dos módulo 11, es decir, el elemento que multiplicado por 2 da el elemento neutro (el 1) módulo 11. Sea x=2-1.

7:

En efecto, 6,9999999... es igual a 7. ¿por qué? Veámoslo:

8:

La hora número 8 se obtiene como determinante de la matriz 2x2.

9:

Ésta es una integral definida entre el 0 y el 3 de x2. Es una integral inmediata, que se resuelve de la siguiente forma:

10:

Las variaciones son el número de conjuntos que se pueden crear de m elementos de un conjunto de n elementos, siendo n ≤ m. El número de variaciones con repetición viene definido por la fórmula de números combinatorios siguiente:
Por lo tanto,  el número combinatorio siendo m=5 y n=3 es:

11:

La sucesión de Lucas es del tipo de la sucesión de Fibonacci generalizada. Cada elemento queda determinado por ser la suma de los dos elementos anteriores. Los dos primeros elementos son los siguientes:

El valor genérico de la sucesión está definido por:

Veamos cual es el 5º elemento de la sucesión (L5):

12:

157 es el número 15 en base 7. Si lo traducimos a base decimal (como en la hora 4) obtenemos:




Nota: Este reloj fué creado por Francisco Zubiri.

martes, 11 de marzo de 2014

La cuadratura del círculo


La cuadratura del círculo tan común en el lenguaje cotidiano (que significa intentar algo imposible), matemáticamente se refiere al intento de construir un cuadrado cuya área sea igual al área de un círculo conocido.

Esta tarea ocupó muchas energías en los sabios griegos de la antigüedad y ha seguido hasta nuestros días.

Y es que tropezamos con π, que es un número trascendental (como el número e, por ejemplo).

Vamos a mostrar un procedimiento para llegar a un resultado aproximado usando la regla y el compás, como los antiguos griegos.
Partimos del círculo de radio r. Sobre él construimos un cuadrado inscrito mediante dos diagonales perpendiculares. Su lado (l) será:


Ahora inscribimos en el círculo un triángulo equilátero, trazando con el compás un arco de radio r con el centro en el extremo M de la diagonal del círculo. Su lado (l') será:



Construimos un rectángulo de base l + l' i de altura r. Su área será:

Hemos obtenido un área con una buena aproximación a la del círculo.

Solamente nos queda construir un cuadrado con la misma área. Para ello hallaremos la media geométrica entre los dos lados del rectángulo anterior, mediante el teorema de la altura (Euclides). Con el compás se construye la mediatriz del segmento formado por (√2 + √3)∙r y por r. Desde el centro dibujamos una semicircunferencia. Trazamos una perpendicular a este segmento desde el punto de unión de los dos semisegmentos hasta la circunferencia. Esta perpendicular será la media geométrica, pues es la altura de un triángulo rectángulo y cumple el teorema de la altura. Por tanto, será el costado L del cuadrado que buscamos.

Hemos hallado el lado L del cuadrado cuya área es sensiblemente igual a la del círculo inicial. Tenemos una razonable cuadratura del círculo.

Todo el proceso de la construcción geométrica lo vemos aquí:
Existen más métodos para resolver la cuadratura del círculo, pero éste sólo requiere los instrumentos de los geómetras griegos: la regla y el compás.

martes, 25 de febrero de 2014

El problema de Monty Hall

El problema de Monty Hall es un problema estadístico que surgió en el programa de televisión estadounidense Let's make a Deal (Hagamos un trato). Éste problema recibe el nombre de su presentador, Monty Hall.

Al margen de alguna ambigüedad en el planteamiento del programa, podemos expresarlo así:

1) En el concurso, había tres puertas numeradas. En una de ella se encontraba un premio importante, mientras que en cada una de las otras dos puertas había una cabra.



2) El concursante debía escoger una puerta entre las tres, aspirando a obtener el premio. Supongamos que escoge la puerta 1.

3) El presentador (Monty Hall) conocía en todo momento la puerta donde se encontraba el premio. Acto seguido, Monty Hall abría una de las dos puertas no seleccionadas en la que sabía que no se encontraba el premio, y aparecía por tanto una cabra. Supongamos que esta puerta fuese la 3.

4) El presentador preguntó al concursante si quería mantener su elección de la puerta 1 o quería cambiar a la puerta 2.


¿Qué es mejor, mantener nuestra primera elección o cambiar de puerta? ¿O es indiferente, ya que ambas tienen la misma probabilidad de contener el premio (50%)?

Os invitamos a que os penséis la respuesta. Posiblemente, os sorprenderá la solución.





SOLUCIÓN:

Aunque pueda parecerlo, la probabilidad de llevarse el premio quedándose con la puerta inicial o cambiándola no es la misma. De hecho, tenemos el doble de probabilidad de ganar si cambiamos de puerta. ¡Veámoslo!

En el caso inicial, tenemos que elegir entre tres puertas, por lo que la probabilidad de acertar donde está el premio al principio es de 1/3 (33,3%).  La probabilidad de que esté en las otras dos puertas es, por tanto, 2/3 (66,6%).

El bueno de Monty Hall abría, de la parte con probabilidad 2/3, la puerta en la que no estaba el premio. Así pues, si cambiamos, elegíamos la puerta premiada, en el caso de que la puerta premiada estuviese en un principio en la puerta 2 y 3.


Por tanto, la probabilidad de llevarnos el premio sin cambiar de puerta es de 1/3 (33,3%) mientras que si cambiamos de puerta es de 2/3 (66,6%).

Posiblemente, la lógica diría que la probabilidad de ganar era la misma cambiando o sin cambiar, pero la probabilidad dice que es el doble de probable que ganemos si cambiamos.

¿Y SI HUBIESEN 10 PUERTAS?

En el caso de tener 10 puertas, la probabilidad de llevarte el premio si cambias de puerta es aún mayor.

Imaginemos que hay que elegir una puerta del 1 al 10 y que se elige la primera.

La probabilidad de que a la primera elijamos la puerta con premio es 1/10 (10%). En cambio, la probabilidad de que la premiada esté entre las 9 restantes es de 9/10 (90%).

Si Monty Hall nos hiciese, de nuevo, el favor de abrir todas las puertas que sabe que no tienen premio de las 9 restantes (cerrando 8), si cambiásemos de puerta tendríamos el 90% de probabilidad de conseguir el premio, en lugar del 10% de antes.

Por lo tanto, ¡SIEMPRE CONVIENE CAMBIAR DE PUERTA!





lunes, 17 de febrero de 2014

Cuadrados de números acabados en 5

Disponemos de toda clase de dispositivos con la aplicación de la calculadora. Por eso, nos vendrá bien un sencillo y curioso procedimiento para ejercitar el cálculo mental. Se trata de hallar de manera rápida el cuadrado de números terminados en 5. (Especialmente útil en los menores de 100).
Sólo hemos de realizar tres pasos:
  1. Tomar los dígitos del número que queremos elevar al cuadrado, eliminando el 5 final.
  2. Multiplicar el número así formado por su consecutivo
  3. Formar el resultado añadiéndole al número anterior, al final, los dígitos 25.
Ejemplos:


a) 152
1 x (1+1) = 1 x 2 = 2
225 es el cuadrado de 15.


b) 352
3 x 4 = 12
1225 es el cuadrado de 35.


c) 752
7 x 8 = 56
5625 es el cuadrado de 55.


d) 1052
10 x 11= 110
11025 es el cuadrado de 105.


Sencillo, ¿no?