sábado, 22 de marzo de 2014

Un reloj matemático

Os presentamos este original reloj matemático.

El regalo perfecto para vuestros alumnos, profesora o profesor de matemáticas o amigos frikis.

Cada hora está definida por alguna expresión matemática. A continuación os explicamos como se obtiene cada hora:

1:

Ésta es la identidad fundamental de la trigonometría. El coseno al cuadrado más el seno al cuadrado es igual a 1 para todo ángulo α, es decir:

2:

El siguiente sumatorio es una serie convergente. Veamos cómo son los primeros elementos (son los recíprocos de 2n):

Y vemos como la serie converge a 2.

3:

El e2πi representa en coordenadas polares el punto de la circunferencia unitaria, con centro en el origen de coordenadas, situado en el mismo punto donde estaría el 3 en un reloj analógico. Es decir:

4:

En este caso, se hace referencia al código binario 0100. Este número se traduce a decimal dando el número 4:
 

5:

La letra φ es el famoso número áureo. Éste número es aproximadamente 1,618, ya que:
Sustituyendo obtenemos que:

6:

2-1 módulo 11 es el inverso de dos módulo 11, es decir, el elemento que multiplicado por 2 da el elemento neutro (el 1) módulo 11. Sea x=2-1.

7:

En efecto, 6,9999999... es igual a 7. ¿por qué? Veámoslo:

8:

La hora número 8 se obtiene como determinante de la matriz 2x2.

9:

Ésta es una integral definida entre el 0 y el 3 de x2. Es una integral inmediata, que se resuelve de la siguiente forma:

10:

Las variaciones son el número de conjuntos que se pueden crear de m elementos de un conjunto de n elementos, siendo n ≤ m. El número de variaciones con repetición viene definido por la fórmula de números combinatorios siguiente:
Por lo tanto,  el número combinatorio siendo m=5 y n=3 es:

11:

La sucesión de Lucas es del tipo de la sucesión de Fibonacci generalizada. Cada elemento queda determinado por ser la suma de los dos elementos anteriores. Los dos primeros elementos son los siguientes:

El valor genérico de la sucesión está definido por:

Veamos cual es el 5º elemento de la sucesión (L5):

12:

157 es el número 15 en base 7. Si lo traducimos a base decimal (como en la hora 4) obtenemos:




Nota: Este reloj fué creado por Francisco Zubiri.

martes, 11 de marzo de 2014

La cuadratura del círculo


La cuadratura del círculo tan común en el lenguaje cotidiano (que significa intentar algo imposible), matemáticamente se refiere al intento de construir un cuadrado cuya área sea igual al área de un círculo conocido.

Esta tarea ocupó muchas energías en los sabios griegos de la antigüedad y ha seguido hasta nuestros días.

Y es que tropezamos con π, que es un número trascendental (como el número e, por ejemplo).

Vamos a mostrar un procedimiento para llegar a un resultado aproximado usando la regla y el compás, como los antiguos griegos.
Partimos del círculo de radio r. Sobre él construimos un cuadrado inscrito mediante dos diagonales perpendiculares. Su lado (l) será:


Ahora inscribimos en el círculo un triángulo equilátero, trazando con el compás un arco de radio r con el centro en el extremo M de la diagonal del círculo. Su lado (l') será:



Construimos un rectángulo de base l + l' i de altura r. Su área será:

Hemos obtenido un área con una buena aproximación a la del círculo.

Solamente nos queda construir un cuadrado con la misma área. Para ello hallaremos la media geométrica entre los dos lados del rectángulo anterior, mediante el teorema de la altura (Euclides). Con el compás se construye la mediatriz del segmento formado por (√2 + √3)∙r y por r. Desde el centro dibujamos una semicircunferencia. Trazamos una perpendicular a este segmento desde el punto de unión de los dos semisegmentos hasta la circunferencia. Esta perpendicular será la media geométrica, pues es la altura de un triángulo rectángulo y cumple el teorema de la altura. Por tanto, será el costado L del cuadrado que buscamos.

Hemos hallado el lado L del cuadrado cuya área es sensiblemente igual a la del círculo inicial. Tenemos una razonable cuadratura del círculo.

Todo el proceso de la construcción geométrica lo vemos aquí:
Existen más métodos para resolver la cuadratura del círculo, pero éste sólo requiere los instrumentos de los geómetras griegos: la regla y el compás.

martes, 25 de febrero de 2014

El problema de Monty Hall

El problema de Monty Hall es un problema estadístico que surgió en el programa de televisión estadounidense Let's make a Deal (Hagamos un trato). Éste problema recibe el nombre de su presentador, Monty Hall.

Al margen de alguna ambigüedad en el planteamiento del programa, podemos expresarlo así:

1) En el concurso, había tres puertas numeradas. En una de ella se encontraba un premio importante, mientras que en cada una de las otras dos puertas había una cabra.



2) El concursante debía escoger una puerta entre las tres, aspirando a obtener el premio. Supongamos que escoge la puerta 1.

3) El presentador (Monty Hall) conocía en todo momento la puerta donde se encontraba el premio. Acto seguido, Monty Hall abría una de las dos puertas no seleccionadas en la que sabía que no se encontraba el premio, y aparecía por tanto una cabra. Supongamos que esta puerta fuese la 3.

4) El presentador preguntó al concursante si quería mantener su elección de la puerta 1 o quería cambiar a la puerta 2.


¿Qué es mejor, mantener nuestra primera elección o cambiar de puerta? ¿O es indiferente, ya que ambas tienen la misma probabilidad de contener el premio (50%)?

Os invitamos a que os penséis la respuesta. Posiblemente, os sorprenderá la solución.





SOLUCIÓN:

Aunque pueda parecerlo, la probabilidad de llevarse el premio quedándose con la puerta inicial o cambiándola no es la misma. De hecho, tenemos el doble de probabilidad de ganar si cambiamos de puerta. ¡Veámoslo!

En el caso inicial, tenemos que elegir entre tres puertas, por lo que la probabilidad de acertar donde está el premio al principio es de 1/3 (33,3%).  La probabilidad de que esté en las otras dos puertas es, por tanto, 2/3 (66,6%).

El bueno de Monty Hall abría, de la parte con probabilidad 2/3, la puerta en la que no estaba el premio. Así pues, si cambiamos, elegíamos la puerta premiada, en el caso de que la puerta premiada estuviese en un principio en la puerta 2 y 3.


Por tanto, la probabilidad de llevarnos el premio sin cambiar de puerta es de 1/3 (33,3%) mientras que si cambiamos de puerta es de 2/3 (66,6%).

Posiblemente, la lógica diría que la probabilidad de ganar era la misma cambiando o sin cambiar, pero la probabilidad dice que es el doble de probable que ganemos si cambiamos.

¿Y SI HUBIESEN 10 PUERTAS?

En el caso de tener 10 puertas, la probabilidad de llevarte el premio si cambias de puerta es aún mayor.

Imaginemos que hay que elegir una puerta del 1 al 10 y que se elige la primera.

La probabilidad de que a la primera elijamos la puerta con premio es 1/10 (10%). En cambio, la probabilidad de que la premiada esté entre las 9 restantes es de 9/10 (90%).

Si Monty Hall nos hiciese, de nuevo, el favor de abrir todas las puertas que sabe que no tienen premio de las 9 restantes (cerrando 8), si cambiásemos de puerta tendríamos el 90% de probabilidad de conseguir el premio, en lugar del 10% de antes.

Por lo tanto, ¡SIEMPRE CONVIENE CAMBIAR DE PUERTA!





lunes, 17 de febrero de 2014

Cuadrados de números acabados en 5

Disponemos de toda clase de dispositivos con la aplicación de la calculadora. Por eso, nos vendrá bien un sencillo y curioso procedimiento para ejercitar el cálculo mental. Se trata de hallar de manera rápida el cuadrado de números terminados en 5. (Especialmente útil en los menores de 100).
Sólo hemos de realizar tres pasos:
  1. Tomar los dígitos del número que queremos elevar al cuadrado, eliminando el 5 final.
  2. Multiplicar el número así formado por su consecutivo
  3. Formar el resultado añadiéndole al número anterior, al final, los dígitos 25.
Ejemplos:


a) 152
1 x (1+1) = 1 x 2 = 2
225 es el cuadrado de 15.


b) 352
3 x 4 = 12
1225 es el cuadrado de 35.


c) 752
7 x 8 = 56
5625 es el cuadrado de 55.


d) 1052
10 x 11= 110
11025 es el cuadrado de 105.


Sencillo, ¿no?

lunes, 10 de febrero de 2014

Te quiero PI

Os traemos este divertido corto: PIPAS. Éste corto de Manuela Moreno muestra como dos jóvenes llegan a la conclusión de que el novio de una de ellas le está siendo infiel por haberle dicho: "Te quiero Pi".

En tono de humor, este vídeo hace reflexionar sobre la poca cultura matemática de estas chicas, que no conocen el número π. En poco más de tres minutos, nos hará reflexionar y nos sacará más de una sonrisa.



Corto PIPAS from Manuela Moreno on Vimeo.

Ganador de los premios al mejor Guión y a la mejor dirección en la XI Edición del Notodofilmfest y nominado a los Goya.
Protagonizado por Marta Martín y Saida Benzal
Guión y Dirección Manuela Moreno
Foto: Jon Corcuera
Productora: MOMENTO

miércoles, 29 de enero de 2014

El tamaño de la Tierra y la trigonometría

Eratóstenes (el de la célebre criba para hallar los números primos) era un sabio griego que residió en Alejandría desde el 236 a.C. hasta su muerte en el 194 a.C. Alejandría fue una gran ciudad del Egipto ptolemaico a orillas del Mediterráneo junto al delta del Nilo,

A Eratóstenes le llegó la noticia de que había un pozo en Asuán (antigua Siene) situada en el límite sur de Egipto, junto al gran río. En ese pozo, un día al año en el mediodía, el sol iluminaba el agua del fondo sin hacer sombra.

Con esa noticia y unos ingeniosos procedimientos rudimentarios, Eratóstenes midió la circunferencia de la Tierra con un error de aproximadamente un 1%.

¿Cómo lo hizo?

Eratóstenes partió de dos supuestos muy acertados: que los rayos del sol, debido a su lejanía, llegaban paralelos a la Tierra y que Alejandría y Assuan estaban en el mismo meridiano. Con eso, tenía el objetivo alcanzado. Supo que la distancia entre Alejandría y Asuán era de 5.000 estadios. El dato no sabemos exactamente cómo lo averiguó. O bien era un dato conocido, debido a las caravanas que hacían el trayecto, o bien, lo más probable, encargó a unos operarios que hiciesen la medición con una cadena.

Solamente le faltaba esperar a que llegara el día señalado (el solsticio de verano, el 21 de junio, que es cuando el sol a mediodía cae perpendicular en el Trópico de Cáncer) para hacer una sencilla medición en Alejandría, también a mediodía: el ángulo que proyectaba un objeto vertical, midiendo su sombra. Eratóstenes comprobó que ese ángulo era de 7,2º.


Como se ve en la figura, ese ángulo α = 7,2º es también el que forman los radios de la Tierra hasta Alejandría y Asuán.

Si un arco de 7,2º tenia una longitud de 5.000 estadios en la superficie terrestre, los 360º de la esfera tendrían: 5.000 x 360 / 7,2 = 250.000 estadios.

En el caso más probable de que Eratóstenes usara el estadio egipcio (157 m) su error fue del 1% (250.000 x 157 = 39.250.000 m). En el peor de los casos, si usó el estadio griego (185 m), el error llegaría al 15%.

Éste es un caso de intuición y sencillez científica para llegar a un gran hallazgo.

Y pensar que 1.700 años después se creía que el tamaño de la Tierra era mucho menor. Entonces, Cristóbal Colón estaba tratando de convencer a reyes para ir a Asia directamente por el oeste desde Europa. Y en los artistas de la Edad Media y en el imaginario popular, persistía la idea de que la Tierra era plana.


lunes, 20 de enero de 2014

¿Por qué 2=1?


Existe un procedimiento por el cual se llega a demostrar que 2=1. Esto demuestra una igualdad claramente errónea, ya que obviamente 2 no es igual a 1. ¿Sabrías encontrar el error?
Sean dos números iguales, a y b:

Se multiplica a ambos lados por b:

Restamos a2 y se obtiene:

Se factoriza, siendo (b-a) el factor común en ambos lados:

Simplificamos dividiendo por (b-a):

Como a=b, sustituimos:


Simplificando y dividiendo por a en las dos partes:

¿Cómo es posible que 2=1? ¿Qué está mal en esta demostración?