miércoles, 29 de enero de 2014

El tamaño de la Tierra y la trigonometría

Eratóstenes (el de la célebre criba para hallar los números primos) era un sabio griego que residió en Alejandría desde el 236 a.C. hasta su muerte en el 194 a.C. Alejandría fue una gran ciudad del Egipto ptolemaico a orillas del Mediterráneo junto al delta del Nilo,

A Eratóstenes le llegó la noticia de que había un pozo en Asuán (antigua Siene) situada en el límite sur de Egipto, junto al gran río. En ese pozo, un día al año en el mediodía, el sol iluminaba el agua del fondo sin hacer sombra.

Con esa noticia y unos ingeniosos procedimientos rudimentarios, Eratóstenes midió la circunferencia de la Tierra con un error de aproximadamente un 1%.

¿Cómo lo hizo?

Eratóstenes partió de dos supuestos muy acertados: que los rayos del sol, debido a su lejanía, llegaban paralelos a la Tierra y que Alejandría y Assuan estaban en el mismo meridiano. Con eso, tenía el objetivo alcanzado. Supo que la distancia entre Alejandría y Asuán era de 5.000 estadios. El dato no sabemos exactamente cómo lo averiguó. O bien era un dato conocido, debido a las caravanas que hacían el trayecto, o bien, lo más probable, encargó a unos operarios que hiciesen la medición con una cadena.

Solamente le faltaba esperar a que llegara el día señalado (el solsticio de verano, el 21 de junio, que es cuando el sol a mediodía cae perpendicular en el Trópico de Cáncer) para hacer una sencilla medición en Alejandría, también a mediodía: el ángulo que proyectaba un objeto vertical, midiendo su sombra. Eratóstenes comprobó que ese ángulo era de 7,2º.


Como se ve en la figura, ese ángulo α = 7,2º es también el que forman los radios de la Tierra hasta Alejandría y Asuán.

Si un arco de 7,2º tenia una longitud de 5.000 estadios en la superficie terrestre, los 360º de la esfera tendrían: 5.000 x 360 / 7,2 = 250.000 estadios.

En el caso más probable de que Eratóstenes usara el estadio egipcio (157 m) su error fue del 1% (250.000 x 157 = 39.250.000 m). En el peor de los casos, si usó el estadio griego (185 m), el error llegaría al 15%.

Éste es un caso de intuición y sencillez científica para llegar a un gran hallazgo.

Y pensar que 1.700 años después se creía que el tamaño de la Tierra era mucho menor. Entonces, Cristóbal Colón estaba tratando de convencer a reyes para ir a Asia directamente por el oeste desde Europa. Y en los artistas de la Edad Media y en el imaginario popular, persistía la idea de que la Tierra era plana.


lunes, 20 de enero de 2014

¿Por qué 2=1?


Existe un procedimiento por el cual se llega a demostrar que 2=1. Esto demuestra una igualdad claramente errónea, ya que obviamente 2 no es igual a 1. ¿Sabrías encontrar el error?
Sean dos números iguales, a y b:

Se multiplica a ambos lados por b:

Restamos a2 y se obtiene:

Se factoriza, siendo (b-a) el factor común en ambos lados:

Simplificamos dividiendo por (b-a):

Como a=b, sustituimos:


Simplificando y dividiendo por a en las dos partes:

¿Cómo es posible que 2=1? ¿Qué está mal en esta demostración?