sábado, 22 de marzo de 2014

Un reloj matemático

Os presentamos este original reloj matemático.

El regalo perfecto para vuestros alumnos, profesora o profesor de matemáticas o amigos frikis.

Cada hora está definida por alguna expresión matemática. A continuación os explicamos como se obtiene cada hora:

1:

Ésta es la identidad fundamental de la trigonometría. El coseno al cuadrado más el seno al cuadrado es igual a 1 para todo ángulo α, es decir:

2:

El siguiente sumatorio es una serie convergente. Veamos cómo son los primeros elementos (son los recíprocos de 2n):

Y vemos como la serie converge a 2.

3:

El e2πi representa en coordenadas polares el punto de la circunferencia unitaria, con centro en el origen de coordenadas, situado en el mismo punto donde estaría el 3 en un reloj analógico. Es decir:

4:

En este caso, se hace referencia al código binario 0100. Este número se traduce a decimal dando el número 4:
 

5:

La letra φ es el famoso número áureo. Éste número es aproximadamente 1,618, ya que:
Sustituyendo obtenemos que:

6:

2-1 módulo 11 es el inverso de dos módulo 11, es decir, el elemento que multiplicado por 2 da el elemento neutro (el 1) módulo 11. Sea x=2-1.

7:

En efecto, 6,9999999... es igual a 7. ¿por qué? Veámoslo:

8:

La hora número 8 se obtiene como determinante de la matriz 2x2.

9:

Ésta es una integral definida entre el 0 y el 3 de x2. Es una integral inmediata, que se resuelve de la siguiente forma:

10:

Las variaciones son el número de conjuntos que se pueden crear de m elementos de un conjunto de n elementos, siendo n ≤ m. El número de variaciones con repetición viene definido por la fórmula de números combinatorios siguiente:
Por lo tanto,  el número combinatorio siendo m=5 y n=3 es:

11:

La sucesión de Lucas es del tipo de la sucesión de Fibonacci generalizada. Cada elemento queda determinado por ser la suma de los dos elementos anteriores. Los dos primeros elementos son los siguientes:

El valor genérico de la sucesión está definido por:

Veamos cual es el 5º elemento de la sucesión (L5):

12:

157 es el número 15 en base 7. Si lo traducimos a base decimal (como en la hora 4) obtenemos:




Nota: Este reloj fué creado por Francisco Zubiri.

martes, 11 de marzo de 2014

La cuadratura del círculo


La cuadratura del círculo tan común en el lenguaje cotidiano (que significa intentar algo imposible), matemáticamente se refiere al intento de construir un cuadrado cuya área sea igual al área de un círculo conocido.

Esta tarea ocupó muchas energías en los sabios griegos de la antigüedad y ha seguido hasta nuestros días.

Y es que tropezamos con π, que es un número trascendental (como el número e, por ejemplo).

Vamos a mostrar un procedimiento para llegar a un resultado aproximado usando la regla y el compás, como los antiguos griegos.
Partimos del círculo de radio r. Sobre él construimos un cuadrado inscrito mediante dos diagonales perpendiculares. Su lado (l) será:


Ahora inscribimos en el círculo un triángulo equilátero, trazando con el compás un arco de radio r con el centro en el extremo M de la diagonal del círculo. Su lado (l') será:



Construimos un rectángulo de base l + l' i de altura r. Su área será:

Hemos obtenido un área con una buena aproximación a la del círculo.

Solamente nos queda construir un cuadrado con la misma área. Para ello hallaremos la media geométrica entre los dos lados del rectángulo anterior, mediante el teorema de la altura (Euclides). Con el compás se construye la mediatriz del segmento formado por (√2 + √3)∙r y por r. Desde el centro dibujamos una semicircunferencia. Trazamos una perpendicular a este segmento desde el punto de unión de los dos semisegmentos hasta la circunferencia. Esta perpendicular será la media geométrica, pues es la altura de un triángulo rectángulo y cumple el teorema de la altura. Por tanto, será el costado L del cuadrado que buscamos.

Hemos hallado el lado L del cuadrado cuya área es sensiblemente igual a la del círculo inicial. Tenemos una razonable cuadratura del círculo.

Todo el proceso de la construcción geométrica lo vemos aquí:
Existen más métodos para resolver la cuadratura del círculo, pero éste sólo requiere los instrumentos de los geómetras griegos: la regla y el compás.