martes, 11 de marzo de 2014

La cuadratura del círculo


La cuadratura del círculo tan común en el lenguaje cotidiano (que significa intentar algo imposible), matemáticamente se refiere al intento de construir un cuadrado cuya área sea igual al área de un círculo conocido.

Esta tarea ocupó muchas energías en los sabios griegos de la antigüedad y ha seguido hasta nuestros días.

Y es que tropezamos con π, que es un número trascendental (como el número e, por ejemplo).

Vamos a mostrar un procedimiento para llegar a un resultado aproximado usando la regla y el compás, como los antiguos griegos.

Partimos del círculo de radio r. Sobre él construimos un cuadrado inscrito mediante dos diagonales perpendiculares. Su lado (l) será:


Ahora inscribimos en el círculo un triángulo equilátero, trazando con el compás un arco de radio r con el centro en el extremo M de la diagonal del círculo. Su lado (l') será:



Construimos un rectángulo de base l + l' i de altura r. Su área será:

Hemos obtenido un área con una buena aproximación a la del círculo.

Solamente nos queda construir un cuadrado con la misma área. Para ello hallaremos la media geométrica entre los dos lados del rectángulo anterior, mediante el teorema de la altura (Euclides). Con el compás se construye la mediatriz del segmento formado por (√2 + √3)∙r y por r. Desde el centro dibujamos una semicircunferencia. Trazamos una perpendicular a este segmento desde el punto de unión de los dos semisegmentos hasta la circunferencia. Esta perpendicular será la media geométrica, pues es la altura de un triángulo rectángulo y cumple el teorema de la altura. Por tanto, será el costado L del cuadrado que buscamos.

Hemos hallado el lado L del cuadrado cuya área es sensiblemente igual a la del círculo inicial. Tenemos una razonable cuadratura del círculo.

Todo el proceso de la construcción geométrica lo vemos aquí:
Existen más métodos para resolver la cuadratura del círculo, pero éste sólo requiere los instrumentos de los geómetras griegos: la regla y el compás.

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